ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 168 Атанасян — Подробные Ответы

Двугранный угол равен \(\varphi\). На одной грани этого угла лежит точка, удалённая на расстояние \(d\) от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Дано: \( \alpha \perp \beta \), \( C \in \alpha \), \( \angle (\alpha, \beta) = \varphi \), \( CA = d \), \( AB \perp \alpha \cap \beta \), \( AC \perp \beta \).
Найти: \( BC \).

Решение:
По теореме о трёх перпендикулярах:
\( AB \perp \alpha \cap \beta \), \( AC \perp \alpha \cap \beta \) \(\Rightarrow\) \( CB \perp \alpha \cap \beta \).
\( CB \perp \alpha \cap \beta \Rightarrow CB \) — расстояние до прямой \( AB \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle CBA \), он прямоугольный, \( CB \) — гипотенуза.
\(
\sin(\varphi) = \frac{AC}{BC} \Rightarrow BC = \frac{d}{\sin(\varphi)}
\)

Ответ: \( BC = \frac{d}{\sin(\varphi)} \).

Дано, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются под углом \(\varphi\), точка \(C\) лежит в плоскости \(\alpha\), а прямая \(AB\) перпендикулярна линии пересечения плоскостей \(\alpha \cap \beta\). Также известно, что отрезок \(CA\) перпендикулярен плоскости \(\beta\), а его длина равна \(d\). Необходимо найти длину отрезка \(BC\).

Рассмотрим следующее. Прямая \(AB\) перпендикулярна линии пересечения \(\alpha \cap \beta\), а отрезок \(CA\) перпендикулярен плоскости \(\beta\). По теореме о трёх перпендикулярах из этого следует, что прямая \(CB\) также перпендикулярна линии пересечения \(\alpha \cap \beta\). Таким образом, \(CB\) является расстоянием от точки \(C\) до прямой \(AB\).

Теперь рассмотрим треугольник \(CBA\). Этот треугольник прямоугольный, так как угол между \(CA\) и \(CB\) прямой по условию. В данном треугольнике гипотенуза — это сторона \(CB\), а катет \(CA\) известен и равен \(d\).

Используем определение синуса угла \(\varphi\) в прямоугольном треугольнике:
\(
\sin(\varphi) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}
\)
В нашем случае противолежащий катет — это \(CA\), а гипотенуза — это \(CB\). Тогда:
\(
\sin(\varphi) = \frac{CA}{CB}
\)

Выразим \(CB\) из этой формулы:
\(
CB = \frac{CA}{\sin(\varphi)}
\)

Подставим значение \(CA = d\):
\(
CB = \frac{d}{\sin(\varphi)}
\)

Таким образом, длина отрезка \(BC\) равна \(\frac{d}{\sin(\varphi)}\).