ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 163 Атанасян — Подробные Ответы

Наклонная \(AM\), проведённая из точки \(A\) к данной плоскости, равна \(d\). Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой \(AM\) и данной плоскостью равен:  

а) \(45^\circ\);  

б) \(60^\circ\);  

в) \(30^\circ\)?

Дано:
\(AM = d\), \(\angle \phi = 45^\circ, 60^\circ, 30^\circ\).
Найти: \(MH\).

Решение:
Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на плоскость, то есть \(\angle \phi = \angle AMH\). Рассмотрим \(\triangle AMH\):
\(\angle AMH = \phi\), \(\angle AMH = 90^\circ\), \(AM = d\).

Тогда \(MH = d \cdot \cos \phi\).

Для каждого случая:
а) \(\phi = 45^\circ\):
\(MH = d \cdot \cos 45^\circ = d \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{d \sqrt{2}}{2}\).

б) \(\phi = 60^\circ\):
\(MH = d \cdot \cos 60^\circ = d \cdot \frac{1}{2} = \frac{d}{2}\).

в) \(\phi = 30^\circ\):
\(MH = d \cdot \cos 30^\circ = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{d \sqrt{3}}{2}\).

Ответ:
а) \(MH = \frac{d \sqrt{2}}{2}\);
б) \(MH = \frac{d}{2}\);
в) \(MH = \frac{d \sqrt{3}}{2}\).

Дано: \(AM = d\), угол между прямой \(AM\) и плоскостью равен \(\phi\). Требуется найти длину проекции \(AM\) на плоскость, то есть \(MH\), для различных значений угла \(\phi\): \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(30^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(AMH\), где \(AM\) — наклонная, \(MH\) — проекция \(AM\) на плоскость, а \(AH\) — перпендикуляр к плоскости. Угол между прямой \(AM\) и её проекцией \(MH\) равен \(\phi\), то есть \(\angle AMH = \phi\). Также \(\angle AMH = 90^\circ\), так как \(AH\) перпендикулярна плоскости.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
\(\cos \phi = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\).

В данном случае:
\(\cos \phi = \frac{MH}{AM}\).

Выразим \(MH\):
\(MH = AM \cdot \cos \phi\).

Так как \(AM = d\), то:
\(MH = d \cdot \cos \phi\).

Теперь подставим значения угла \(\phi\):

Для \(\phi = 45^\circ\):
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Подставляем в формулу:
\(MH = d \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{d \sqrt{2}}{2}\).

Для \(\phi = 60^\circ\):
\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).
Подставляем в формулу:
\(MH = d \cdot \frac{1}{2} = \frac{d}{2}\).

Для \(\phi = 30^\circ\):
\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Подставляем в формулу:
\(MH = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{d \sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, для каждого значения угла \(\phi\) получаем следующие результаты:
Если \(\phi = 45^\circ\), то \(MH = \frac{d \sqrt{2}}{2}\).
Если \(\phi = 60^\circ\), то \(MH = \frac{d}{2}\).
Если \(\phi = 30^\circ\), то \(MH = \frac{d \sqrt{3}}{2}\).