Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 158 Атанасян — Подробные Ответы
Через вершину \(B\) ромба \(ABCD\) проведена прямая \(BM\), перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки \(M\) до прямых, содержащих стороны ромба, если \(AB = 25 \, \text{см}\), \(\angle BAD = 60^\circ\), \(BM = 12.5 \, \text{см}\).
Дано: \(ABCD\) — ромб, \(BM \perp ABCD\), \(AB = 25 \, \text{см}\), \(\angle BAD = 60^\circ\), \(BM = 12,5 \, \text{см}\).
Найти: \(p(M, AB)\), \(p(M, BC)\), \(p(M, AD)\), \(p(M, CD)\).
Решение:
Так как \(MB \parallel ABCD\), то \(AB \perp MB\), значит \(p(M, AB) = p(M, BC) = BM = 12,5 \, \text{см}\).
В плоскости \(ABCD\):
\(BH \perp DA\) и \(BK \perp DC\), следовательно \(HM \perp DA\) и \(KM \perp CD\) (по теореме о трёх перпендикулярах), отсюда \(p(M, DA) = MH\) и \(p(M, CD) = MK\).
\(\angle BAD = \angle BCD\) и \(AB = CD\) (по свойству ромба), следовательно, \(\triangle ANB = \triangle CBK\):
\(BH = BK = AB \cdot \sin \angle BAD = 25 \cdot \sin 60^\circ = 12,5 \sqrt{3} \, \text{см}\).
\(KM\) и \(HM\) — наклонные, тогда \(BH\) и \(BK\) — их проекции, \(BH = BK\), следовательно \(KM = HM\).
\(KM = HM = \sqrt{BM^2 + BH^2} = \sqrt{12,5^2 + (12,5 \sqrt{3})^2} = 25 \, \text{см}\).
Ответ:
\(p(M, AB) = p(M, BC) = 12,5 \, \text{см}\);
\(p(M, DA) = p(M, CD) = 25 \, \text{см}\).
Дано: \(ABCD\) — ромб, \(BM \perp ABCD\), \(AB = 25 \, \text{см}\), \(\angle BAD = 60^\circ\), \(BM = 12,5 \, \text{см}\).
Найти: \(p(M, AB)\), \(p(M, BC)\), \(p(M, AD)\), \(p(M, CD)\).
Рассуждение начинается с того, что прямая \(BM\) параллельна плоскости \(ABCD\), и при этом перпендикулярна всем сторонам ромба. Это означает, что расстояние от точки \(M\) до сторон \(AB\) и \(BC\) равно длине перпендикуляра \(BM\). Следовательно, \(p(M, AB) = p(M, BC) = BM = 12,5 \, \text{см}\).
Далее анализируется расположение точек в плоскости \(ABCD\). Так как \(BH \perp DA\) и \(BK \perp DC\), то по теореме о трёх перпендикулярах \(HM \perp DA\) и \(KM \perp CD\). Это означает, что расстояния \(p(M, DA)\) и \(p(M, CD)\) равны длинам соответствующих перпендикуляров, то есть \(p(M, DA) = MH\) и \(p(M, CD) = MK\).
Угол \(\angle BAD = \angle BCD\), а стороны \(AB = CD\) (по свойству ромба). Это позволяет утверждать, что треугольники \(\triangle ANB\) и \(\triangle CBK\) равны. Из равенства треугольников следует, что \(BH = BK\).
Для нахождения длины \(BH\) используется формула проекции стороны ромба на высоту:
\(BH = BK = AB \cdot \sin \angle BAD = 25 \cdot \sin 60^\circ = 12,5 \sqrt{3} \, \text{см}\).
Так как \(KM\) и \(HM\) — наклонные, то их проекции на плоскость \(ABCD\) равны друг другу (\(BH = BK\)). Это означает, что длины наклонных также равны, то есть \(KM = HM\).
Теперь длина \(KM\) (или \(HM\)) находится по теореме Пифагора:
\(KM = HM = \sqrt{BM^2 + BH^2} = \sqrt{12,5^2 + (12,5 \sqrt{3})^2} = 25 \, \text{см}\).
Ответ:
\(p(M, AB) = p(M, BC) = 12,5 \, \text{см}\);
\(p(M, DA) = p(M, CD) = 25 \, \text{см}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.