ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 158 Атанасян — Подробные Ответы

Через вершину \(B\) ромба \(ABCD\) проведена прямая \(BM\), перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки \(M\) до прямых, содержащих стороны ромба, если \(AB = 25 \, \text{см}\), \(\angle BAD = 60^\circ\), \(BM = 12.5 \, \text{см}\).

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(BM \perp ABCD\), \(AB = 25 \, \text{см}\), \(\angle BAD = 60^\circ\), \(BM = 12,5 \, \text{см}\).
Найти: \(p(M, AB)\), \(p(M, BC)\), \(p(M, AD)\), \(p(M, CD)\).

Решение:
Так как \(MB \parallel ABCD\), то \(AB \perp MB\), значит \(p(M, AB) = p(M, BC) = BM = 12,5 \, \text{см}\).

В плоскости \(ABCD\):
\(BH \perp DA\) и \(BK \perp DC\), следовательно \(HM \perp DA\) и \(KM \perp CD\) (по теореме о трёх перпендикулярах), отсюда \(p(M, DA) = MH\) и \(p(M, CD) = MK\).

\(\angle BAD = \angle BCD\) и \(AB = CD\) (по свойству ромба), следовательно, \(\triangle ANB = \triangle CBK\):
\(BH = BK = AB \cdot \sin \angle BAD = 25 \cdot \sin 60^\circ = 12,5 \sqrt{3} \, \text{см}\).

\(KM\) и \(HM\) — наклонные, тогда \(BH\) и \(BK\) — их проекции, \(BH = BK\), следовательно \(KM = HM\).

\(KM = HM = \sqrt{BM^2 + BH^2} = \sqrt{12,5^2 + (12,5 \sqrt{3})^2} = 25 \, \text{см}\).

Ответ:
\(p(M, AB) = p(M, BC) = 12,5 \, \text{см}\);
\(p(M, DA) = p(M, CD) = 25 \, \text{см}\).

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(BM \perp ABCD\), \(AB = 25 \, \text{см}\), \(\angle BAD = 60^\circ\), \(BM = 12,5 \, \text{см}\).
Найти: \(p(M, AB)\), \(p(M, BC)\), \(p(M, AD)\), \(p(M, CD)\).

Рассуждение начинается с того, что прямая \(BM\) параллельна плоскости \(ABCD\), и при этом перпендикулярна всем сторонам ромба. Это означает, что расстояние от точки \(M\) до сторон \(AB\) и \(BC\) равно длине перпендикуляра \(BM\). Следовательно, \(p(M, AB) = p(M, BC) = BM = 12,5 \, \text{см}\).

Далее анализируется расположение точек в плоскости \(ABCD\). Так как \(BH \perp DA\) и \(BK \perp DC\), то по теореме о трёх перпендикулярах \(HM \perp DA\) и \(KM \perp CD\). Это означает, что расстояния \(p(M, DA)\) и \(p(M, CD)\) равны длинам соответствующих перпендикуляров, то есть \(p(M, DA) = MH\) и \(p(M, CD) = MK\).

Угол \(\angle BAD = \angle BCD\), а стороны \(AB = CD\) (по свойству ромба). Это позволяет утверждать, что треугольники \(\triangle ANB\) и \(\triangle CBK\) равны. Из равенства треугольников следует, что \(BH = BK\).

Для нахождения длины \(BH\) используется формула проекции стороны ромба на высоту:
\(BH = BK = AB \cdot \sin \angle BAD = 25 \cdot \sin 60^\circ = 12,5 \sqrt{3} \, \text{см}\).

Так как \(KM\) и \(HM\) — наклонные, то их проекции на плоскость \(ABCD\) равны друг другу (\(BH = BK\)). Это означает, что длины наклонных также равны, то есть \(KM = HM\).

Теперь длина \(KM\) (или \(HM\)) находится по теореме Пифагора:
\(KM = HM = \sqrt{BM^2 + BH^2} = \sqrt{12,5^2 + (12,5 \sqrt{3})^2} = 25 \, \text{см}\).

Ответ:
\(p(M, AB) = p(M, BC) = 12,5 \, \text{см}\);
\(p(M, DA) = p(M, CD) = 25 \, \text{см}\).