Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 157 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая \(OK\) перпендикулярна к плоскости ромба \(ABCD\), диагонали которого пересекаются в точке \(O\).
а) Докажите, что расстояния от точки \(K\) до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.
б) Найдите это расстояние, если \(OK = 4.5 \, \text{дм}\), \(AC = 6 \, \text{дм}\), \(BD = 8 \, \text{дм}\).
Дан ромб \(ABCD\), диагонали которого пересекаются в точке \(O\), причем \(AC = 6 \, \text{дм}\), \(BD = 8 \, \text{дм}\), \(OK \perp ABC\), \(OK = 4,5 \, \text{дм}\). Нужно найти \(p(K, AB)\).
Рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\), который является прямоугольным. Высота \(OM\) опущена на гипотенузу \(AB\). Площадь \(\triangle AOB\) равна:
\(
S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OM.
\)
Отсюда
\(
OM = \frac{AO \cdot OB}{AB}.
\)
Находим \(AB\) по теореме Пифагора:
\(
AB = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, \text{дм}.
\)
Подставляем значения:
\(
OM = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2,4 \, \text{дм}.
\)
Теперь рассматриваем прямоугольный треугольник \(\triangle KOM\), в котором \(KM\) — гипотенуза. Используем теорему Пифагора:
\(
KM = \sqrt{OK^2 + OM^2} = \sqrt{4,5^2 + 2,4^2} = \sqrt{20,25 + 5,76} = \sqrt{26,01} =\)
\(= 5,1 \, \text{дм}.
\)
Ответ: \(p(K, AB) = 5,1 \, \text{дм}\).
Дан ромб \(ABCD\), диагонали которого пересекаются в точке \(O\), причем \(AC = 6 \, \text{дм}\), \(BD = 8 \, \text{дм}\), \(OK \perp ABC\), \(OK = 4,5 \, \text{дм}\). Нужно найти расстояние от точки \(K\) до стороны \(AB\), обозначенное как \(p(K, AB)\).
Сначала определим свойства ромба. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Это значит, что \(O\) — середина обеих диагоналей, а также что \(\triangle AOB\) является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине \(O\). Половины диагоналей равны: \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{дм}\) и \(BO = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, \text{дм}\).
Теперь найдем длину стороны \(AB\) ромба, используя теорему Пифагора для \(\triangle AOB\):
\(
AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{дм}.
\)
Далее рассмотрим высоту \(OM\), опущенную из точки \(O\) на сторону \(AB\). Площадь \(\triangle AOB\) можно выразить двумя способами: через длины катетов \(AO\) и \(BO\), а также через длину гипотенузы \(AB\) и высоту \(OM\).
\(
S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OM.
\)
Приравниваем площади и находим \(OM\):
\(
OM = \frac{AO \cdot BO}{AB} = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2,4 \, \text{дм}.
\)
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle KOM\), в котором \(OK\) — высота, \(OM\) — основание, а \(KM\) — гипотенуза. Используем теорему Пифагора:
\(
KM = \sqrt{OK^2 + OM^2} = \sqrt{4,5^2 + 2,4^2}.
\)
Вычислим:
\(
4,5^2 = 20,25, \quad 2,4^2 = 5,76, \quad 20,25 + 5,76 = 26,01.
\)
Подставляем:
\(
KM = \sqrt{26,01} \approx 5,1 \, \text{дм}.
\)
Таким образом, расстояние от точки \(K\) до стороны \(AB\) равно \(p(K, AB) = 5,1 \, \text{дм}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.