Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 155 Атанасян — Подробные Ответы
Через вершину прямого угла \(C\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) проведена прямая \(CM\), перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\), если \(AC = 4 \, \text{см}\), а \(CM = \frac{2}{\sqrt{7}} \, \text{см}\).
Пусть \(MK = p(M, AB)\), тогда \(MK \perp AB\). Так как \(AC \perp \triangle ABC\), \(MK\) – наклонная к \(\triangle ABC\), а \(KC\) – проекция \(MK\) на \(\triangle ABC\). Следовательно, \(KC \perp AB\) (по теореме о трёх перпендикулярах).
В \(\triangle ABC\) \(KC \perp AB\), значит \(KC\) – высота. Так как \(AC = BC\), то \(KC\) – медиана, и \(AK = KB\). Поскольку \(AC = BC\), углы \(\angle A\) и \(\angle B\) равны \(45^\circ\).
Рассмотрим \(\triangle AKC\): он прямоугольный и равнобедренный (\(\angle K = 90^\circ\), \(\angle A = \angle C = 45^\circ\)). Тогда \(AK = KC = AC \cdot \cos 45^\circ = \frac{AC \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\, \text{см}\).
В \(\triangle MKC\) прямоугольный: \(MK = \sqrt{MC^2 + KC^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{28 + 8} = \sqrt{36} = 6\, \text{см}\).
Ответ: \(p(M, AB) = 6\, \text{см}\).
Пусть \(MK = p(M, AB)\), тогда \(MK \perp AB\). Это следует из того, что \(p(M, AB)\) — это расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\), которое измеряется по перпендикуляру.
Так как \(AC \perp \triangle ABC\), то \(MK\) является наклонной к плоскости \(\triangle ABC\), а \(KC\) — это проекция \(MK\) на плоскость \(\triangle ABC\). Из условия \(MK \perp AB\) и теоремы о трёх перпендикулярах следует, что \(KC \perp AB\).
В треугольнике \(\triangle ABC\) известно, что \(KC \perp AB\). Это означает, что \(KC\) является высотой треугольника. Кроме того, так как \(AC = BC\), треугольник \(\triangle ABC\) равнобедренный, а \(KC\) является медианой. Следовательно, \(AK = KB\).
Из равенства \(AC = BC\) также следует, что углы при основании равны: \(\angle A = \angle B = 45^\circ\).
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle AKC\). Этот треугольник прямоугольный (\(\angle K = 90^\circ\)) и равнобедренный (\(\angle A = \angle C = 45^\circ\)). Из свойства равнобедренного прямоугольного треугольника следует, что \(AK = KC\). Длина \(KC\) находится по формуле:
\(KC = AC \cdot \cos 45^\circ = \frac{AC \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\, \text{см}\).
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle MKC\). Этот треугольник прямоугольный, так как \(MK \perp KC\). Для нахождения длины \(MK\) используем теорему Пифагора:
\(MK = \sqrt{MC^2 + KC^2}\). Подставим значения:
\(MC = 2\sqrt{7}\), \(KC = 2\sqrt{2}\). Тогда:
\(MK = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{28 + 8} = \sqrt{36} = 6\, \text{см}\).
Ответ: \(p(M, AB) = 6\, \text{см}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.