Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 154 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая \(BD\) перпендикулярна к плоскости треугольника \(ABC\). Известно, что \(BD = 9 \, \text{см}\), \(AC = 10 \, \text{см}\), \(BC = BA = 13 \, \text{см}\). Найдите:
а) расстояние от точки \(D\) до прямой \(AC\);
б) площадь треугольника \(ACD\).
Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный; \(BD \perp AC\); \(BD = 9 \, \text{см}\); \(AC = 10 \, \text{см}\); \(BC = BA = 13 \, \text{см}\).
Найти:
a) \(p(D, AC)\);
б) \(S_{ACD}\).
Решение:
Рассмотрим \(\triangle BAC\) — равнобедренный. Проведем высоту \(BH\), тогда \(BH\) — высота и медиана, отсюда \(BH \perp AC\), \(CH = HA\).
\(BD \perp AC\) и \(BH \perp AC\), следовательно \(DH \perp AC\) (по теореме о трех перпендикулярах), отсюда \(p(D, AC) = DH\).
Рассмотрим \(\triangle CHB\) — прямоугольный:
\(BH = \sqrt{BC^2 — CH^2} = \sqrt{169 — 25} = 12 \, \text{см}\).
Рассмотрим \(\triangle DHB\) — прямоугольный:
\(p(D, AC) = DH = \sqrt{BD^2 + BH^2} = \sqrt{81 + 144} = 15 \, \text{см}\).
Рассмотрим \(\triangle ACD\):
\(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75 \, \text{см}^2\).
Ответ:
a) \(p(D, AC) = 15 \, \text{см}\);
б) \(S_{ACD} = 75 \, \text{см}^2\).
Дано равнобедренный треугольник \(\triangle ABC\), в котором \(BC = BA = 13 \, \text{см}\), основание \(AC = 10 \, \text{см}\), высота \(BD = 9 \, \text{см}\), причём \(BD \perp AC\).
Нужно найти расстояние от точки \(D\) до прямой \(AC\) (\(p(D, AC)\)) и площадь треугольника \(\triangle ACD\) (\(S_{ACD}\)).
Рассмотрим \(\triangle BAC\). Он равнобедренный, поэтому высота \(BH\), проведённая из вершины \(B\) на основание \(AC\), является также медианой. Это значит, что точка \(H\) делит основание \(AC\) пополам, то есть \(CH = HA = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}\).
Так как \(BD \perp AC\) и \(BH \perp AC\), то по теореме о трёх перпендикулярах \(DH \perp AC\). Следовательно, расстояние от точки \(D\) до прямой \(AC\) равно длине отрезка \(DH\), то есть \(p(D, AC) = DH\).
Теперь найдём длину \(BH\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle CHB\), где \(CH = 5 \, \text{см}\), а \(BC = 13 \, \text{см}\). По теореме Пифагора:
\(
BH = \sqrt{BC^2 — CH^2} = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.
\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle DHB\), где \(BD = 9 \, \text{см}\) и \(BH = 12 \, \text{см}\). Найдём \(DH\) по теореме Пифагора:
\(
DH = \sqrt{BD^2 + BH^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \, \text{см}.
\)
Таким образом, \(p(D, AC) = 15 \, \text{см}\).
Теперь найдём площадь треугольника \(\triangle ACD\). Основание \(AC = 10 \, \text{см}\), а высота, проведённая из точки \(D\) к основанию \(AC\), равна \(DH = 15 \, \text{см}\). Площадь треугольника рассчитывается по формуле:
\(
S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75 \, \text{см}^2.
\)
Ответ:
\(p(D, AC) = 15 \, \text{см}\),
\(S_{ACD} = 75 \, \text{см}^2\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.