ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 153 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что прямая \(a\), проведённая в плоскости \(\alpha\) через основание \(M\) наклонной \(AM\) перпендикулярно к ней, перпендикулярна к её проекции \(HM\).

Решение:
Прямая \(a\) перпендикулярна к плоскости \(AMH\), так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (\(a \perp AM\) по условию и \(a \perp AH\), так как \(AH \perp \alpha\)). Отсюда следует, что прямая \(a\) перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости \(AMH\), в частности \(a \perp HM\), что и требовалось доказать

Дано:
\(\alpha \in a; M \in a; AM\) — наклонная \(\alpha; a \perp AM\).

Доказать:
\(a \perp HM\).

Доказательство:
\(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(AMH\), так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости:
\[
a \perp AM \, (\text{по условию}) \, \text{и} \, a \perp AH \, (\text{так как} \, AH \subset \alpha).
\]
Следовательно, \(a \perp AMH\).

Так как \(a \perp AMH\) и \(HM \in AMH\), то \(a \perp HM\), что и требовалось доказать.

Дано:
\(\alpha \in a\), \(M \in a\), \(AM\) — наклонная \(\alpha\), \(a \perp AM\).

Доказать:
\(a \perp HM\).

Доказательство:

Сначала рассмотрим, что означает перпендикулярность прямой и плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

По условию, прямая \(a\) перпендикулярна наклонной \(AM\), то есть \(a \perp AM\). Также известно, что \(a \perp AH\), так как \(AH \subset \alpha\), а \(a\) перпендикулярна всей плоскости \(\alpha\).

Так как \(AM\) и \(AH\) — пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости \(AMH\), то \(a\) перпендикулярна плоскости \(AMH\).

Из того, что \(a \perp AMH\), следует, что \(a\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая \(HM\) лежит в плоскости \(AMH\), значит, \(a \perp HM\).

Таким образом, доказано, что \(a \perp HM\).