Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 15 Атанасян — Подробные Ответы
Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.
Пусть \(A\) — точка пересечения прямых \(a\) и \(b\). Если прямая \(c\) пересекает \(a\) в точке \(B\) (\(B \neq A\)) и \(b\) в точке \(C\) (\(C \neq A\)), то точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой, и через них можно провести единственную плоскость. Если \(c\) пересекает \(a\) и \(b\) в точке \(A\), то все три прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, прямые либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.
Рассмотрим три прямые \(a\), \(b\), \(c\), которые попарно пересекаются. Требуется доказать, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.
Пусть \(A\) — точка пересечения прямых \(a\) и \(b\). Рассмотрим два возможных случая для прямой \(c\):
1. Прямая \(c\) пересекает \(a\) в точке \(B\), где \(B \neq A\). Тогда, поскольку \(c\) также пересекает \(b\), обозначим точку их пересечения как \(C\), где \(C \neq A\). Таким образом, у нас есть три точки \(A\), \(B\), \(C\), которые не лежат на одной прямой. По аксиоме геометрии (аксиома А1), через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Следовательно, прямые \(a\), \(b\), \(c\) лежат в одной плоскости.
2. Прямая \(c\) пересекает \(a\) в той же точке \(A\), где пересекаются \(a\) и \(b\). В таком случае \(c\) также пересекает \(b\) в точке \(A\). Таким образом, все три прямые \(a\), \(b\), \(c\) пересекаются в одной точке \(A\).
Итак, доказано, что если три прямые попарно пересекаются, то они либо лежат в одной плоскости, либо пересекаются в одной точке.
Ответ: что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.