Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 15 Атанасян — Подробные Ответы
Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.
Пусть \(A\) — точка пересечения прямых \(a\) и \(b\). Если прямая \(c\) пересекает \(a\) в точке \(B\) (\(B \neq A\)) и \(b\) в точке \(C\) (\(C \neq A\)), то точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой, и через них можно провести единственную плоскость. Если \(c\) пересекает \(a\) и \(b\) в точке \(A\), то все три прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, прямые либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.
Рассмотрим три прямые \(a\), \(b\), \(c\), которые попарно пересекаются. Требуется доказать, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.
Пусть \(A\) — точка пересечения прямых \(a\) и \(b\). Рассмотрим два возможных случая для прямой \(c\):
1. Прямая \(c\) пересекает \(a\) в точке \(B\), где \(B \neq A\). Тогда, поскольку \(c\) также пересекает \(b\), обозначим точку их пересечения как \(C\), где \(C \neq A\). Таким образом, у нас есть три точки \(A\), \(B\), \(C\), которые не лежат на одной прямой. По аксиоме геометрии (аксиома А1), через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Следовательно, прямые \(a\), \(b\), \(c\) лежат в одной плоскости.
2. Прямая \(c\) пересекает \(a\) в той же точке \(A\), где пересекаются \(a\) и \(b\). В таком случае \(c\) также пересекает \(b\) в точке \(A\). Таким образом, все три прямые \(a\), \(b\), \(c\) пересекаются в одной точке \(A\).
Итак, доказано, что если три прямые попарно пересекаются, то они либо лежат в одной плоскости, либо пересекаются в одной точке.
Ответ: что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.