ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 149 Атанасян — Подробные Ответы

Отрезок \(AD\) перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника \(ABC\). Известно, что \(AB = AC = 5 \, \text{см}\), \(BC = 6 \, \text{см}\), \(AD = 12 \, \text{см}\). Найдите расстояния от концов отрезка \(AD\) до прямой \(BC\).

Дано:
\(\triangle ABC\) — равнобедренный,
\(AD \perp BC\),
\(AB = AC = 5 \, \text{см}\),
\(BC = 6 \, \text{см}\),
\(AD = 12 \, \text{см}\).

Найти: \(p(A, BC)\), \(p(D, BC)\).

Решение:

Рассмотрим \(\triangle ABC\) — равнобедренный. Проведем \(AM \perp BC\). Тогда \(AM\) — это медиана и высота, а значит:
\(
MB = MC = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \, \text{см}.
\)
Так как \(AM \perp BC\), то \(AM = p(A, BC)\).

Рассмотрим \(\triangle AMB\) — прямоугольный. По теореме Пифагора:
\(
AM = \sqrt{AB^2 — MB^2} = \sqrt{5^2 — 3^2} = \sqrt{25 — 9} = \sqrt{16} = 4 \, \text{см}.
\)
Таким образом, \(p(A, BC) = 4 \, \text{см}\).

Теперь рассмотрим, что \(BC \perp MA\) и \(BC \perp DA\), следовательно, \(BC \perp DM\) (по теореме о трёх перпендикулярах). Так как \(DM \perp BC\), то \(DM = p(D, BC)\).

Рассмотрим \(\triangle ADC\). Угол \(\angle DAC = 90^\circ\), так как \(AD \perp BC\). Тогда:
\(
DC = \sqrt{DA^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}.
\)

Теперь рассмотрим \(\triangle DMC\) — прямоугольный. По теореме Пифагора:
\(
DM = \sqrt{DC^2 — MC^2} = \sqrt{13^2 — 3^2} = \sqrt{169 — 9} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(p(A, BC) = 4 \, \text{см}\),
\(p(D, BC) = 4\sqrt{10} \, \text{см}\).

Дано равнобедренный треугольник \(\triangle ABC\) с основанием \(BC\). Проведена высота \(AD\), которая также является медианой, так как треугольник равнобедренный. Это значит, что точка \(M\), где высота пересекает \(BC\), делит \(BC\) пополам. Следовательно, \(MB = MC = \frac{1}{2} \cdot BC = 3 \, \text{см}\).

Так как \(AM\) — это высота, она перпендикулярна \(BC\), то есть \(AM \perp BC\). Это означает, что расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\) равно длине отрезка \(AM\), то есть \(p(A, BC) = AM\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AMB\). По теореме Пифагора можно найти длину \(AM\):
\(AM = \sqrt{AB^2 — MB^2} = \sqrt{5^2 — 3^2} = \sqrt{25 — 9} = \sqrt{16} = 4 \, \text{см}\).

Далее, чтобы найти \(p(D, BC)\), используем теорему о трёх перпендикулярах. Так как \(BC \perp MA\) и \(BC \perp DA\), то \(BC \perp DM\). Это значит, что расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\) равно длине отрезка \(DM\), то есть \(p(D, BC) = DM\).

Теперь найдём \(DC\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle ADC\), где \(\angle DAC = 90^\circ\). По теореме Пифагора:
\(DC = \sqrt{DA^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}\).

Для нахождения \(DM\), рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle DMC\). Используя теорему Пифагора, находим:
\(DM = \sqrt{DC^2 — MC^2} = \sqrt{13^2 — 3^2} = \sqrt{169 — 9} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \, \text{см}\).

Таким образом, получаем, что \(p(A, BC) = 4 \, \text{см}\) и \(p(D, BC) = 4\sqrt{10} \, \text{см}\).