Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 148 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая \(AK\) перпендикулярна к плоскости правильного треугольника \(ABC\), а точка \(M\) — середина стороны \(BC\). Докажите, что \(MK \perp BC\).
Дано, что \(\triangle ABC\) — правильный, \(AK \perp \triangle ABC\), и \(BM = MC\). Точка \(M\) является серединой \(BC\), следовательно, \(AM \perp BC\), так как \(AM\) — высота правильного треугольника. \(AK \perp \triangle ABC\), значит, \(AM\) — проекция \(AK\) на плоскость треугольника. По теореме о трёх перпендикулярах, если \(AM \perp BC\), то наклонная \(KM\) также будет перпендикулярна \(BC\). Таким образом, \(MK \perp BC\).
Дано: \(\triangle ABC\) — правильный треугольник. Это значит, что все стороны равны, и все углы равны \(60^\circ\). Дано, что \(AK \perp \triangle ABC\), то есть прямая \(AK\) перпендикулярна плоскости треугольника. Также известно, что \(BM = MC\), что означает, что точка \(M\) является серединой отрезка \(BC\).
Необходимо доказать, что \(MK \perp BC\).
Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). Так как он правильный, то высота, медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают. Следовательно, отрезок \(AM\), соединяющий вершину \(A\) с серединой \(BC\), является высотой треугольника. Это значит, что \(AM \perp BC\).
Теперь обратим внимание на условие \(AK \perp \triangle ABC\). Это означает, что \(AK\) перпендикулярна всей плоскости треугольника, а не только одной стороне. В этом случае отрезок \(AM\) выступает в роли проекции отрезка \(AK\) на плоскость треугольника \(\triangle ABC\), а отрезок \(KM\) — наклонная, идущая из точки \(K\) к плоскости.
По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная \(KM\) и её проекция \(AM\) перпендикулярны одной и той же линии \(BC\), то наклонная также перпендикулярна этой линии. Поскольку \(AM \perp BC\) и \(AK \perp \triangle ABC\), следует, что \(MK \perp BC\).
Таким образом, мы доказали, что \(MK \perp BC\), используя свойства правильного треугольника и теорему о трёх перпендикулярах.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.