Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 147 Атанасян — Подробные Ответы
Из точки \(M\) проведён перпендикуляр \(MB\) к плоскости прямоугольника \(ABCD\). Докажите, что треугольники \(AMD\) и \(MCD\) прямоугольные.
Дано: \(ABCD\) — прямоугольник; \(M \in MB\); \(MB \perp ABCD\).
Доказать: \(\triangle AMD\) и \(\triangle MCD\) — прямоугольные.
Доказательство:
\(\triangle AMCD\) — прямоугольник, следовательно:
\(\angle BAD = 90^\circ\) и \(\angle BCD = 90^\circ\) (по свойству прямоугольника).
\(MA\) — наклонная, \(AB\) — проекция, \(AD \perp AB\).
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах \(MA \perp AD\).
Отсюда \(\angle MAD = 90^\circ\), значит \(\triangle AMD\) — прямоугольный.
\(MC\) — наклонная, \(BC\) — проекция, \(DC \perp BC\).
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах \(MC \perp CD\).
Отсюда \(\angle MCD = 90^\circ\), значит \(\triangle MCD\) — прямоугольный.
Что и требовалось доказать.
Дано, что \(ABCD\) — прямоугольник, точка \(M\) лежит на прямой \(MB\), причём \(MB \perp ABCD\). Требуется доказать, что треугольники \(\triangle AMD\) и \(\triangle MCD\) являются прямоугольными.
Для доказательства сначала нужно рассмотреть свойства прямоугольника \(ABCD\). В прямоугольнике все углы прямые, то есть \(\angle BAD = 90^\circ\) и \(\angle BCD = 90^\circ\). Это следует из определения прямоугольника.
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle AMD\).
Прямая \(MA\) является наклонной к плоскости прямоугольника \(ABCD\), а отрезок \(AB\) — её проекцией на эту плоскость. Поскольку \(AD \perp AB\) (так как стороны \(AB\) и \(AD\) смежные в прямоугольнике), то по теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная \(MA\) перпендикулярна одной из сторон прямоугольника, то она перпендикулярна и другой. Таким образом, \(MA \perp AD\). Это означает, что угол между \(MA\) и \(AD\) равен \(90^\circ\), то есть \(\angle MAD = 90^\circ\). Следовательно, треугольник \(\triangle AMD\) является прямоугольным.
Аналогично рассуждаем для треугольника \(\triangle MCD\).
Прямая \(MC\) является наклонной, а \(BC\) — её проекцией на плоскость прямоугольника. Так как \(DC \perp BC\) (это также следует из свойств прямоугольника, где противоположные стороны параллельны, а смежные перпендикулярны), то по теореме о трёх перпендикулярах \(MC \perp CD\). Это означает, что угол между \(MC\) и \(CD\) равен \(90^\circ\), то есть \(\angle MCD = 90^\circ\). Следовательно, треугольник \(\triangle MCD\) также является прямоугольным.
Таким образом, оба треугольника \(\triangle AMD\) и \(\triangle MCD\) доказаны прямоугольными.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.