Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 145 Атанасян — Подробные Ответы
Через вершину \(A\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведена прямая \(AD\), перпендикулярная к плоскости треугольника.
а) Докажите, что треугольник \(CBD\) прямоугольный.
б) Найдите \(BD\), если \(BC = a\), \(DC = b\)
Дано:
Треугольник \(\triangle ABC\) прямоугольный, \(AD\) перпендикулярно \(ABC\), \(BC = a\), \(DC = b\).
Доказать:
а) \(\angle ACB = 90^\circ\);
Найти:
б) \(BD\).
Решение:
Имеем, что \(AD\) перпендикулярно к плоскости \(ABC\), \(DC\) — наклонная, \(AC\) — проекция \(DC\) на плоскости \(ABC\).
а) Если \(\angle C = 90^\circ\), то \(CB \perp CA\), то есть прямая \(CB\) перпендикулярна к проекции \(AC\) прямой \(DC\). Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(BC\) перпендикулярна и к \(DC\). Таким образом, \(\angle DCB = 90^\circ\), отсюда \(\triangle DCB\) прямоугольный, что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим \(\triangle DCB\) — прямоугольный. По теореме Пифагора:
\(BD^2 = DC^2 + CB^2\)
Подставляем известные значения:
\(BD^2 = b^2 + a^2\)
Отсюда:
\(BD = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Ответ:
\(BD = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Дано, что \(AD\) — перпендикуляр к плоскости треугольника \(ABC\), \(DC\) — наклонная, а \(AC\) является проекцией наклонной \(DC\) на плоскость \(ABC\). Также известно, что треугольник \(ABC\) прямоугольный, то есть угол \(\angle ACB = 90^\circ\).
Для доказательства пункта \(а)\) рассматриваем взаимное расположение прямых и плоскостей. Поскольку \(AD\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), то все прямые, лежащие в плоскости \(ABC\), будут перпендикулярны \(AD\). Наклонная \(DC\) имеет проекцию \(AC\) на плоскость \(ABC\), а угол между наклонной \(DC\) и её проекцией \(AC\) равен \(90^\circ\).
Из условия, что угол \(\angle ACB = 90^\circ\), следует, что \(CB \perp CA\). Это значит, что прямая \(CB\) перпендикулярна не только к \(CA\), но и к проекции прямой \(DC\) на плоскость \(ABC\), то есть к \(AC\). Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если \(CB\) перпендикулярна проекции наклонной \(DC\), то \(CB\) также будет перпендикулярна самой наклонной \(DC\). Таким образом, угол \(\angle DCB = 90^\circ\), а треугольник \(\triangle DCB\) является прямоугольным, что и требовалось доказать.
Для нахождения длины \(BD\) в пункте \(б)\) используем треугольник \(\triangle DCB\), который является прямоугольным. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
\(BD^2 = DC^2 + CB^2\)
Подставляем известные значения длины сторон \(DC = b\) и \(CB = a\):
\(BD^2 = b^2 + a^2\)
Находим \(BD\), извлекая квадратный корень:
\(BD = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Таким образом, длина \(BD\) выражается через известные длины сторон \(DC\) и \(CB\). Ответ совпадает с примером решения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.