Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 144 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\sigma\). Докажите, что все точки прямой \(a\) равноудалены от плоскости \(\sigma\).
Решение:
Через какую-нибудь точку прямой \(a\) проведём плоскость \(\beta\), параллельную плоскости \(\sigma\) (задача 59). Прямая \(a\) лежит в плоскости \(\beta\), так как в противном случае она пересекала бы плоскость \(\beta\), а значит, пересекала бы и плоскость \(\sigma\) (задача 55), что невозможно. Все точки плоскости \(\beta\) равноудалены от плоскости \(\sigma\), поэтому и все точки прямой \(a\), лежащей в плоскости \(\beta\), равноудалены от плоскости \(\sigma\), что и требовалось доказать.
Дано: \(a \parallel \alpha\).
Доказать: все точки \(a\) равноудалены от \(\alpha\).
Доказательство:
Отметим какую-либо точку \(A\) на прямой \(a\).
Через точку \(A\) проведем плоскость \(\beta\), такую что \(\beta \parallel \alpha\).
Поскольку \(a \subset \beta\), то прямая \(a\) лежит в плоскости \(\beta\). Если бы это было не так, то \(a\) пересекала бы \(\beta\), а это, в свою очередь, означало бы пересечение прямой \(a\) с плоскостью \(\alpha\), что противоречит условию \(a \parallel \alpha\).
Таким образом, все точки плоскости \(\beta\) равноудалены от плоскости \(\alpha\), так как \(\beta \parallel \alpha\).
Следовательно, все точки прямой \(a\), лежащей в плоскости \(\beta\), также равноудалены от плоскости \(\alpha\), что и требовалось доказать.
Дано условие, что прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то есть \(a \parallel \alpha\). Необходимо доказать, что все точки прямой \(a\) равноудалены от плоскости \(\alpha\).
Для доказательства начнем с выбора произвольной точки \(A\) на прямой \(a\). Это допустимо, так как любая прямая состоит из множества точек, и точка \(A\) является одной из них.
Через точку \(A\) проведем плоскость \(\beta\), которая параллельна плоскости \(\alpha\), то есть \(\beta \parallel \alpha\). Это можно сделать, так как для любой точки пространства существует единственная плоскость, проходящая через эту точку и параллельная заданной плоскости.
Далее заметим, что прямая \(a\) лежит в плоскости \(\beta\). Это следует из того, что точка \(A\), принадлежащая прямой \(a\), является общей точкой \(a\) и \(\beta\). Если бы прямая \(a\) не лежала в \(\beta\), то она пересекала бы \(\beta\), а это, в свою очередь, привело бы к пересечению \(a\) с плоскостью \(\alpha\), что невозможно, так как \(a \parallel \alpha\). Таким образом, \(a \subset \beta\).
Теперь, зная, что \(\beta \parallel \alpha\), мы можем утверждать, что все точки плоскости \(\beta\) равноудалены от плоскости \(\alpha\). Это свойство параллельных плоскостей: расстояние между ними остается постоянным.
Так как прямая \(a\) полностью лежит в плоскости \(\beta\), то все точки прямой \(a\) также равноудалены от плоскости \(\alpha\). Это следует из того, что расстояние от любой точки \(a\) до \(\alpha\) равно расстоянию от соответствующей точки \(\beta\) до \(\alpha\).
Таким образом, мы доказали, что все точки прямой \(a\) равноудалены от плоскости \(\alpha\), что и требовалось показать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.