Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 143 Атанасян — Подробные Ответы
Расстояние от точки \(M\) до каждой из вершин правильного треугольника \(ABC\) равно \(4 \, \text{см}\). Найдите расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\), если \(AB = 6 \, \text{см}\).
Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \) — правильный, \( AM = MB = MC = 4 \, \text{см} \), \( AB = 6 \, \text{см} \).
Найти: \( p(ABC; M) \).
Решение:
Опустим перпендикуляр из точки \( M \) на плоскость \( ABC \).
У равных наклонных равны проекции, следовательно:
\( OA = OB = OC = R \), так как \( \triangle ABC \) — правильный.
Рассчитаем радиус описанной окружности \( R \) по следствию из теоремы синусов:
\(
R = \frac{AB}{2 \cdot \sin \angle BCA} = \frac{6}{2 \cdot \sin 60^\circ}.
\)
Так как \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то:
\(
R = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, \text{см}.
\)
Рассмотрим треугольник \( \triangle MOA \), который является прямоугольным (так как \( MO \perp ABC \)).
По теореме Пифагора:
\(
p(ABC; M) = OM = \sqrt{MA^2 — OA^2}.
\)
Подставим известные значения:
\(
MA = 4 \, \text{см}, \, OA = R = 2\sqrt{3} \, \text{см}.
\)
Тогда:
\(
OM = \sqrt{4^2 — (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 — 12} = \sqrt{4} = 2 \, \text{см}.
\)
Ответ:
\(
p(ABC; M) = 2 \, \text{см}.
\)
Дано, что треугольник \( \triangle ABC \) правильный, то есть все его стороны равны, а углы между сторонами составляют \( 60^\circ \). Также известно, что \( AM = MB = MC = 4 \, \text{см} \), а сторона \( AB = 6 \, \text{см} \). Необходимо найти расстояние от точки \( M \) до плоскости треугольника \( ABC \), которое обозначено как \( p(ABC; M) \).
Рассуждение начинается с того, что из точки \( M \), которая равноудалена от всех вершин треугольника \( A, B, C \), опускается перпендикуляр на плоскость \( ABC \). Этот перпендикуляр обозначается как \( MO \), где точка \( O \) — центр описанной окружности треугольника \( ABC \).
Так как треугольник \( \triangle ABC \) правильный, его центр \( O \) одновременно является центром описанной окружности, а также точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Это свойство правильного треугольника упрощает задачу, так как расстояния \( OA, OB, OC \) от центра до вершин треугольника равны и обозначаются как радиус описанной окружности \( R \).
Радиус \( R \) описанной окружности можно найти, используя следствие из теоремы синусов. Формула радиуса окружности через сторону треугольника и угол между сторонами имеет вид:
\(
R = \frac{AB}{2 \cdot \sin \angle BCA}.
\)
Подставим значение стороны \( AB = 6 \, \text{см} \) и угол \( \angle BCA = 60^\circ \). Для угла \( 60^\circ \) известно, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим это в формулу:
\(
R = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}}.
\)
Упростим выражение:
\(
R = 2\sqrt{3} \, \text{см}.
\)
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle MOA \), где \( MO \) — перпендикуляр к плоскости \( ABC \), \( MA = 4 \, \text{см} \), а \( OA = R = 2\sqrt{3} \, \text{см} \). По теореме Пифагора можно найти длину \( MO \), которая и является искомым расстоянием \( p(ABC; M) \). Запишем теорему Пифагора:
\(
MA^2 = MO^2 + OA^2.
\)
Выразим \( MO \):
\(
MO = \sqrt{MA^2 — OA^2}.
\)
Подставим известные значения:
\(
MO = \sqrt{4^2 — (2\sqrt{3})^2}.
\)
Посчитаем:
\(
MO = \sqrt{16 — 12} = \sqrt{4} = 2 \, \text{см}.
\)
Таким образом, расстояние от точки \( M \) до плоскости треугольника \( ABC \) равно \( 2 \, \text{см} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.