ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 135 Атанасян — Подробные Ответы

Прямая а перпендикулярна к плоскости σ и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b ⊥ σ.

Дано: \(a \perp \alpha\), \(a \perp b\), \(b \subset \alpha\).
Доказать: \(b \parallel \alpha\).

Доказательство:
Через точку \(B \in \alpha\) проведём \(BK \parallel b\), так как \(a \perp b\) и \(BK \parallel b\), то \(a \perp BK\) (по лемме п.15).

Предположим, что \(b \not\parallel \alpha\), тогда \(BK\) не параллельна \(\alpha\), то есть \(BK \cap \alpha = C\).

Пусть \(a \cap \alpha = A\).

Рассмотрим \(\triangle ABC\):
\(\angle ABC = 90^\circ\) (так как \(BC \perp AB\)) и \(\angle BAC = 90^\circ\) (так как \(AC \subset \alpha\) и \(AB = a \perp \alpha \Rightarrow AB \perp AC\)).
Значит, в \(\triangle ABC\) два прямых угла, что невозможно, следовательно, \(BC \parallel \alpha\).

Так как \(BC \parallel b\) и \(BC \parallel \alpha\), то \(b \parallel \alpha\), что и требовалось доказать.

Дано, что прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\) (\(a \perp \alpha\)) и одновременно перпендикулярна прямой \(b\) (\(a \perp b\)). Также известно, что прямая \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\) (\(b \subset \alpha\)). Требуется доказать, что \(b \parallel \alpha\).

Для доказательства сначала через точку \(B \in \alpha\) проведем прямую \(BK\), которая параллельна прямой \(b\) (\(BK \parallel b\)). По условию, \(a \perp b\), а значит, \(a\) также будет перпендикулярна прямой \(BK\) (\(a \perp BK\)), поскольку \(BK \parallel b\). Это следует из свойства перпендикулярности: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Предположим, что \(b\) не параллельна плоскости \(\alpha\) (\(b \not\parallel \alpha\)). Тогда прямая \(BK\), которая параллельна \(b\), также не будет параллельна плоскости \(\alpha\). Это означает, что \(BK\) пересечет плоскость \(\alpha\) в некоторой точке \(C\) (\(BK \cap \alpha = C\)).

Обозначим точку пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\alpha\) как \(A\) (\(a \cap \alpha = A\)).

Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). В этом треугольнике угол \(\angle ABC = 90^\circ\), так как \(BC \perp AB\) (по построению, \(a \perp BK\), а \(AB \subset a\)). Также угол \(\angle BAC = 90^\circ\), так как \(AC \subset \alpha\), а \(AB = a \perp \alpha\), что влечет \(AB \perp AC\). Таким образом, в треугольнике \(\triangle ABC\) оказалось два прямых угла (\(\angle ABC = 90^\circ\) и \(\angle BAC = 90^\circ\)), что невозможно по свойствам геометрии, так как сумма углов треугольника всегда равна \(180^\circ\).

Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о том, что \(b \not\parallel \alpha\), неверно. Следовательно, \(b \parallel \alpha\).

Поскольку \(BC \parallel b\) (по построению) и \(BC \parallel \alpha\) (по доказанному), то из этого следует, что \(b \parallel \alpha\). Это завершает доказательство.