Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 135 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая а перпендикулярна к плоскости σ и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b ⊥ σ.
Дано: \(a \perp \alpha\), \(a \perp b\), \(b \subset \alpha\).
Доказать: \(b \parallel \alpha\).
Доказательство:
Через точку \(B \in \alpha\) проведём \(BK \parallel b\), так как \(a \perp b\) и \(BK \parallel b\), то \(a \perp BK\) (по лемме п.15).
Предположим, что \(b \not\parallel \alpha\), тогда \(BK\) не параллельна \(\alpha\), то есть \(BK \cap \alpha = C\).
Пусть \(a \cap \alpha = A\).
Рассмотрим \(\triangle ABC\):
\(\angle ABC = 90^\circ\) (так как \(BC \perp AB\)) и \(\angle BAC = 90^\circ\) (так как \(AC \subset \alpha\) и \(AB = a \perp \alpha \Rightarrow AB \perp AC\)).
Значит, в \(\triangle ABC\) два прямых угла, что невозможно, следовательно, \(BC \parallel \alpha\).
Так как \(BC \parallel b\) и \(BC \parallel \alpha\), то \(b \parallel \alpha\), что и требовалось доказать.
Дано, что прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\) (\(a \perp \alpha\)) и одновременно перпендикулярна прямой \(b\) (\(a \perp b\)). Также известно, что прямая \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\) (\(b \subset \alpha\)). Требуется доказать, что \(b \parallel \alpha\).
Для доказательства сначала через точку \(B \in \alpha\) проведем прямую \(BK\), которая параллельна прямой \(b\) (\(BK \parallel b\)). По условию, \(a \perp b\), а значит, \(a\) также будет перпендикулярна прямой \(BK\) (\(a \perp BK\)), поскольку \(BK \parallel b\). Это следует из свойства перпендикулярности: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Предположим, что \(b\) не параллельна плоскости \(\alpha\) (\(b \not\parallel \alpha\)). Тогда прямая \(BK\), которая параллельна \(b\), также не будет параллельна плоскости \(\alpha\). Это означает, что \(BK\) пересечет плоскость \(\alpha\) в некоторой точке \(C\) (\(BK \cap \alpha = C\)).
Обозначим точку пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\alpha\) как \(A\) (\(a \cap \alpha = A\)).
Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). В этом треугольнике угол \(\angle ABC = 90^\circ\), так как \(BC \perp AB\) (по построению, \(a \perp BK\), а \(AB \subset a\)). Также угол \(\angle BAC = 90^\circ\), так как \(AC \subset \alpha\), а \(AB = a \perp \alpha\), что влечет \(AB \perp AC\). Таким образом, в треугольнике \(\triangle ABC\) оказалось два прямых угла (\(\angle ABC = 90^\circ\) и \(\angle BAC = 90^\circ\)), что невозможно по свойствам геометрии, так как сумма углов треугольника всегда равна \(180^\circ\).
Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о том, что \(b \not\parallel \alpha\), неверно. Следовательно, \(b \parallel \alpha\).
Поскольку \(BC \parallel b\) (по построению) и \(BC \parallel \alpha\) (по доказанному), то из этого следует, что \(b \parallel \alpha\). Это завершает доказательство.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.