ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 134 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а

Дано: \(M \in a\); \(M \in b_1, b_2, b_3\); \(b_1, b_2, b_3 \perp a\); \(M \in \beta\); \(\beta \perp a\).
Доказать: \(b_1, b_2, b_3 \in \beta\).

Доказательство:
\(b_1 \perp a\), \(b_2 \perp a\), \(M \in b_1\) и \(M \in b_2\), следовательно, \(b_1 \cap b_2 = M\). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости: \(a \perp \beta\). Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Тогда любая прямая \(b_3\), проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная \(a\), лежит в плоскости \(\beta\).

Если \(b_3 \in \beta\), то через \(b_2\) и \(b_3\) можно провести плоскость \(\alpha\), и тогда \(a \perp b_2\) и \(a \perp b_3\), значит, \(a \perp \alpha\). Тогда через точку \(M\) проходит сразу две плоскости, перпендикулярные \(a\), но через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой. Значит, \(b_3 \in \beta\), что и требовалось доказать.

Дано, что точка \(M\) принадлежит прямой \(a\), а также прямым \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\). Прямые \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) перпендикулярны прямой \(a\). Точка \(M\) лежит в плоскости \(\beta\), которая перпендикулярна прямой \(a\). Необходимо доказать, что прямые \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) принадлежат плоскости \(\beta\).

Сначала рассмотрим прямые \(b_1\) и \(b_2\). Они обе проходят через точку \(M\) и перпендикулярны прямой \(a\). Следовательно, точки пересечения этих прямых образуют одну общую точку \(M\), то есть \(b_1 \cap b_2 = M\). Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если две пересекающиеся прямые перпендикулярны одной и той же прямой \(a\), то через них можно провести единственную плоскость, перпендикулярную \(a\). Таким образом, через прямые \(b_1\) и \(b_2\) проходит плоскость \(\beta\), которая перпендикулярна \(a\).

Теперь рассмотрим прямую \(b_3\). Она также проходит через точку \(M\) и перпендикулярна прямой \(a\). По условию, любая прямая, проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная \(a\), должна лежать в плоскости \(\beta\). Это следует из того, что через две пересекающиеся прямые \(b_1\) и \(b_2\), которые уже лежат в \(\beta\), можно провести единственную плоскость, перпендикулярную \(a\). Следовательно, \(b_3\) также должна принадлежать этой плоскости.

Предположим, что \(b_3\) не лежит в плоскости \(\beta\). Тогда через прямые \(b_2\) и \(b_3\) можно провести другую плоскость \(\alpha\), которая также будет перпендикулярна \(a\). Однако это противоречит теореме о том, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой. Следовательно, \(b_3\) обязательно принадлежит плоскости \(\beta\).

Таким образом, доказано, что прямые \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) принадлежат плоскости \(\beta\).