Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 134 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а
Дано: \(M \in a\); \(M \in b_1, b_2, b_3\); \(b_1, b_2, b_3 \perp a\); \(M \in \beta\); \(\beta \perp a\).
Доказать: \(b_1, b_2, b_3 \in \beta\).
Доказательство:
\(b_1 \perp a\), \(b_2 \perp a\), \(M \in b_1\) и \(M \in b_2\), следовательно, \(b_1 \cap b_2 = M\). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости: \(a \perp \beta\). Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Тогда любая прямая \(b_3\), проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная \(a\), лежит в плоскости \(\beta\).
Если \(b_3 \in \beta\), то через \(b_2\) и \(b_3\) можно провести плоскость \(\alpha\), и тогда \(a \perp b_2\) и \(a \perp b_3\), значит, \(a \perp \alpha\). Тогда через точку \(M\) проходит сразу две плоскости, перпендикулярные \(a\), но через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой. Значит, \(b_3 \in \beta\), что и требовалось доказать.
Дано, что точка \(M\) принадлежит прямой \(a\), а также прямым \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\). Прямые \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) перпендикулярны прямой \(a\). Точка \(M\) лежит в плоскости \(\beta\), которая перпендикулярна прямой \(a\). Необходимо доказать, что прямые \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) принадлежат плоскости \(\beta\).
Сначала рассмотрим прямые \(b_1\) и \(b_2\). Они обе проходят через точку \(M\) и перпендикулярны прямой \(a\). Следовательно, точки пересечения этих прямых образуют одну общую точку \(M\), то есть \(b_1 \cap b_2 = M\). Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если две пересекающиеся прямые перпендикулярны одной и той же прямой \(a\), то через них можно провести единственную плоскость, перпендикулярную \(a\). Таким образом, через прямые \(b_1\) и \(b_2\) проходит плоскость \(\beta\), которая перпендикулярна \(a\).
Теперь рассмотрим прямую \(b_3\). Она также проходит через точку \(M\) и перпендикулярна прямой \(a\). По условию, любая прямая, проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная \(a\), должна лежать в плоскости \(\beta\). Это следует из того, что через две пересекающиеся прямые \(b_1\) и \(b_2\), которые уже лежат в \(\beta\), можно провести единственную плоскость, перпендикулярную \(a\). Следовательно, \(b_3\) также должна принадлежать этой плоскости.
Предположим, что \(b_3\) не лежит в плоскости \(\beta\). Тогда через прямые \(b_2\) и \(b_3\) можно провести другую плоскость \(\alpha\), которая также будет перпендикулярна \(a\). Однако это противоречит теореме о том, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой. Следовательно, \(b_3\) обязательно принадлежит плоскости \(\beta\).
Таким образом, доказано, что прямые \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) принадлежат плоскости \(\beta\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.