Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 132 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.
Дано:
\(
\alpha \parallel \beta;\, AB \perp \alpha;\, A \in \alpha;\, B \in \beta.
\)
Доказать:
\(
AB \perp \beta.
\)
Доказательство:
В плоскости \(\alpha\) проведём прямые \(AM\) и \(AN\), так как \(AB \perp \alpha\), то \(AB \perp AM\) и \(AB \perp AN\).
В плоскости \(\beta\) проведём прямые \(BM_1 \parallel AM\) и \(BN_1 \parallel AN\) (так как \(\beta \parallel \alpha\)).
Так как \(AB \perp AM\) и \(BM_1 \parallel AM\), то \(AB \perp BM_1\). Также \(AB \perp AN\) и \(BN_1 \parallel AN\), значит \(AB \perp BN_1\).
Прямые \(BM_1\) и \(BN_1\) принадлежат плоскости \(\beta\), причём их пересечение \(BM_1 \cap BN_1 = B\). Следовательно, \(AB \perp \beta\) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
Что и требовалось доказать.
Дано, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то есть \(\alpha \parallel \beta\). Прямая \(AB\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), то есть \(AB \perp \alpha\). При этом точка \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) лежит в плоскости \(\beta\). Нужно доказать, что прямая \(AB\) перпендикулярна плоскости \(\beta\), то есть \(AB \perp \beta\).
Начнём с того, что в плоскости \(\alpha\) проведём две произвольные пересекающиеся прямые \(AM\) и \(AN\), которые проходят через точку \(A\). Так как по условию \(AB \perp \alpha\), то \(AB\) перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости \(\alpha\), в том числе \(AM\) и \(AN\). Это означает, что \(AB \perp AM\) и \(AB \perp AN\).
Теперь рассмотрим плоскость \(\beta\). Из условия \(\beta \parallel \alpha\) следует, что можно провести в плоскости \(\beta\) прямые \(BM_1\) и \(BN_1\), которые будут параллельны прямым \(AM\) и \(AN\) соответственно. То есть \(BM_1 \parallel AM\) и \(BN_1 \parallel AN\).
Так как \(AB \perp AM\) и \(BM_1 \parallel AM\), то по свойству перпендикулярности прямых \(AB \perp BM_1\). Аналогично, так как \(AB \perp AN\) и \(BN_1 \parallel AN\), то \(AB \perp BN_1\).
Прямые \(BM_1\) и \(BN_1\) лежат в плоскости \(\beta\) и пересекаются в точке \(B\), то есть \(BM_1 \cap BN_1 = B\). Таким образом, \(AB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BM_1\) и \(BN_1\), которые лежат в плоскости \(\beta\). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, \(AB \perp \beta\).
Что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.