Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 131 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС, АВ = AC, DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС.
Дано:
Тетраэдр \(ABCD\), точка \(M \in BC\), \(BM = MC\), \(AB = AC\), \(DC = DB\).
Доказать: \(BC \perp ADM\).
Доказательство:
Рассмотрим \(\triangle ABC\):
\(AB = AC\), \(BM = MC\) (по условию), следовательно, \(\triangle ABC\) — равнобедренный, а \(AM\) — медиана и высота. Значит, \(AM \perp BC\).
Рассмотрим \(\triangle CBD\):
\(DC = DB\), \(BM = MC\) (по условию), следовательно, \(\triangle CBD\) — равнобедренный, а \(MD\) — медиана и высота. Значит, \(MD \perp BC\).
Так как \(AM \perp BC\) и \(MD \perp BC\), а также \(AM\) и \(MD \in MDA\), то \(BC \perp MDA\) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
Что и требовалось доказать.
Дано тетраэдр \(ABCD\), в котором точка \(M\) принадлежит отрезку \(BC\), причем \(BM = MC\). Также известно, что \(AB = AC\) и \(DC = DB\). Требуется доказать, что прямая \(BC\) перпендикулярна плоскости \(ADM\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\). Так как \(AB = AC\) по условию, треугольник \(ABC\) является равнобедренным. Точка \(M\) лежит на основании \(BC\) и делит его пополам (\(BM = MC\)). Следовательно, медиана \(AM\) в равнобедренном треугольнике одновременно является высотой. Это означает, что \(AM \perp BC\).
Теперь рассмотрим треугольник \(CBD\). По условию \(DC = DB\), а точка \(M\) делит сторону \(BC\) пополам (\(BM = MC\)). Таким образом, треугольник \(CBD\) также является равнобедренным. Медиана \(MD\), проведенная из вершины \(D\) к основанию \(BC\), в равнобедренном треугольнике является также высотой. Это означает, что \(MD \perp BC\).
Таким образом, мы получили, что \(AM \perp BC\) и \(MD \perp BC\). Кроме того, прямые \(AM\) и \(MD\) лежат в плоскости \(ADM\). Следовательно, прямая \(BC\) перпендикулярна плоскости \(ADM\) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости).
Что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.