Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 129 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости АМО; б) МО ⊥ BD.
Дано: \(ABCD\) — квадрат, следовательно:
\(
AC \perp BD \, (\text{по свойству диагоналей квадрата});
\)
\(
AC \perp BD \, \text{и} \, O \in AC, \, \text{следовательно} \, BD \perp AO;
\)
\(
MA \perp ABC \, \text{и} \, BD \in ABC, \, \text{значит} \, BD \perp MA.
\)
\(a)\) \(BD \perp MA\) и \(BD \perp AO\), \(AO\) и \(MA \in AMO\) и \(AO \cap MA = A\), следовательно:
\(
BD \perp AMO \, (\text{по признаку перпендикулярности прямой и плоскости}).
\)
\(б)\) \(MO \in AMO\) и \(BD \perp AMO\), следовательно:
\(
BD \perp MO, \, \text{что и требовалось доказать}.
\)
Дано, что \(ABCD\) — квадрат. Это означает, что все его стороны равны, углы прямые, а диагонали равны и пересекаются под прямым углом в точке \(O\). По свойству диагоналей квадрата, они всегда перпендикулярны. Следовательно, \(AC \perp BD\). Так как точка \(O\) является точкой пересечения диагоналей, то \(O \in AC\) и \(O \in BD\). Из этого следует, что прямая \(BD\) перпендикулярна прямой \(AO\).
По условию, \(AM \perp ABCD\). Это значит, что \(AM\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости квадрата \(ABCD\), включая диагональ \(AC\). Кроме того, \(MA \perp ABC\), а \(BD \in ABC\). Так как \(BD\) принадлежит плоскости \(ABC\), а \(MA\) перпендикулярна этой плоскости, то \(BD \perp MA\).
Теперь докажем пункт (a). У нас уже есть, что \(BD \perp MA\) и \(BD \perp AO\). Прямые \(AO\) и \(MA\) лежат в плоскости \(AMO\), а их пересечение — это точка \(A\). Таким образом, \(BD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости \(AMO\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Следовательно, \(BD \perp AMO\).
Теперь докажем пункт (б). Точка \(M\) лежит на прямой \(AM\), а точка \(O\) лежит на прямой \(AO\). Таким образом, отрезок \(MO\) полностью принадлежит плоскости \(AMO\). Из пункта (a) мы уже доказали, что \(BD \perp AMO\). Это означает, что \(BD\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(AMO\), включая прямую \(MO\). Следовательно, \(BD \perp MO\).
Таким образом, оба пункта доказаны.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.