Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 12 Атанасян — Подробные Ответы
Точки \(A, B, C, D\) не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки \(A, B, C\) и \(A, B, D\)?
Дано: точки \(A, B, C, D\) не лежат в одной плоскости.
Согласно аксиоме \(A1\), через точки \(A, B, C\) существует единственная плоскость \(\alpha\), а через точки \(A, B, D\) существует единственная плоскость \(\beta\).
Согласно аксиоме \(A2\), если две точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости, то вся прямая \(AB\) также принадлежит этой плоскости. Следовательно, \(AB \subset \alpha\) и \(AB \subset \beta\).
Прямая \(AB\) лежит в обеих плоскостях, то есть \(\alpha \cap \beta = AB\).
Ответ: плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(AB\).
Дано: точки \(A, B, C, D\) не лежат в одной плоскости. Требуется доказать, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), содержащие точки \(A, B, C\) и \(A, B, D\) соответственно, пересекаются.
Рассмотрим решение:
Согласно аксиоме \(A1\), если три точки \(A, B, C\) не лежат на одной прямой, то существует единственная плоскость \(\alpha\), содержащая эти точки. Следовательно, \(A, B, C \in \alpha\).
Аналогично, если три точки \(A, B, D\) не лежат на одной прямой, то существует единственная плоскость \(\beta\), содержащая эти точки. Следовательно, \(A, B, D \in \beta\).
Согласно аксиоме \(A2\), если две точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости, то вся прямая \(AB\) также принадлежит этой плоскости. Таким образом, \(AB \subset \alpha\) и \(AB \subset \beta\).
Так как прямая \(AB\) лежит одновременно в плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\), то их пересечение \(\alpha \cap \beta\) содержит прямую \(AB\).
Следовательно, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются, и их линия пересечения — это прямая \(AB\).
Ответ: плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(AB\). Что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.