Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 116 Атанасян — Подробные Ответы
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что:
a) DC 1 B1C1 и AB 1 A1D1, если \(\angle BAD = 90^\circ\);
б) AB 1 CC1 и DD1 1 A1B1, если AB 1 DD1.
Поскольку ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед, то противоположные грани параллельны и равны: AA1BB1 = DD1CC1 и AA1DD1 = BB1CC1. Также все грани параллелепипеда являются параллелограммами.
a) Так как \(\angle BAD = 90^\circ\), то ABCD — прямоугольник, и, следовательно, \(\angle A = \angle C = 90^\circ\). Далее, так как BC || B1C1 (по свойству параллелограмма), а DC \(\perp\) BC, то DC \(\perp\) B1C1. Также, поскольку A1D1 \(\parallel\) AD (по свойству параллелограмма), а AB \(\perp\) AD, то AB \(\perp\) A1D1.
б) Так как D1D \(\parallel\) CC1 (по свойству параллелограмма), а DC \(\perp\) AB, то DC \(\perp\) CC1, и, следовательно, AB \(\perp\) CC1. Кроме того, так как AB \(\parallel\) A1B1 (по свойству параллелограмма), а AA1 \(\parallel\) DD1, то AA1 \(\perp\) A1B1, и, следовательно, DD1 \(\perp\) A1B1.
Дано, что ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Согласно свойствам параллелепипеда, противоположные грани параллельны и равны: AA1BB1 = DD1CC1 и AA1DD1 = BB1CC1. Также все грани параллелепипеда являются параллелограммами.
a) Рассмотрим прямоугольник ABCD. Так как \(\angle BAD = 90^\circ\), то ABCD — прямоугольник, и, следовательно, \(\angle A = \angle C = 90^\circ\). Далее рассмотрим параллелограмм BB1C1C. Поскольку BC || B1C1 (по свойству параллелограмма), а DC \(\perp\) BC, то DC \(\perp\) B1C1, то есть DC \(\perp\) B1C1. Таким образом, доказано, что DC \(\perp\) B1C1.
Теперь рассмотрим параллелограмм AA1D1D. Так как A1D1 \(\parallel\) AD (по свойству параллелограмма), а AB \(\perp\) AD, то AB \(\perp\) A1D1. Следовательно, доказано, что AB \(\perp\) A1D1.
б) Рассмотрим параллелограмм D1DCC1. Поскольку D1D \(\parallel\) CC1 (по свойству параллелограмма), а DC \(\perp\) AB, то DC \(\perp\) CC1, и, следовательно, AB \(\perp\) CC1.
Далее рассмотрим параллелограмм AA1BB1. Так как AB \(\parallel\) A1B1 (по свойству параллелограмма), а AA1 \(\parallel\) DD1, то AA1 \(\perp\) A1B1. Следовательно, DD1 \(\perp\) A1B1.
Таким образом, мы доказали, что:
a) DC \(\perp\) B1C1 и AB \(\perp\) A1D1;
б) AB \(\perp\) CC1 и DD1 \(\perp\) A1B1.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.