Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 112 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.
Дано: параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать: \(A1C^2 + B1D^2 + C1A^2 + BD^2 = 4AB^2 + 4AD^2 + 4A1A^2\).
Доказательство: Рассмотрим параллелограмм ABCD, для которого \(\angle ADC = 180° — \angle DAB\). Применяя теорему косинусов к треугольникам ABD и ACD, получим \(DB^2 = AD^2 + DC^2 — 2AD \cdot DC \cdot \cos \angle DAB\) и \(AC^2 = AD^2 + DC^2 — 2AD \cdot DC \cdot \cos \angle DAB\). Для прямоугольных треугольников DD1B1B и AA1CC1 справедливы теоремы Пифагора: \(D1B^2 + B1D^2 = 2DB^2 + 2B1B^2\) и \(A1C^2 + C1A^2 = 2AC^2 + 2A1A^2\). Сложив все равенства, получаем \(2DB^2 + 2B1B^2 + 2AC^2 + 2A1A^2 = 4DA^2 + 4A1A^2 + 4AB^2\), что и требовалось доказать.
Дано: параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать: \(A1C^2 + B1D^2 + C1A^2 + BD^2 = 4AB^2 + 4AD^2 + 4A1A^2\).
Доказательство: Рассмотрим параллелограмм ABCD. Согласно свойствам параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали пересекаются в точке, делящей их пополам. Следовательно, \(\angle ADC = 180° — \angle DAB\).
Рассмотрим треугольник ABD. Применяя теорему косинусов, получим: \(DB^2 = AD^2 + DC^2 — 2AD \cdot DC \cdot \cos \angle DAB\).
Аналогично, для треугольника ACD: \(AC^2 = AD^2 + DC^2 — 2AD \cdot DC \cdot \cos (180° — \angle DAB) = AD^2 + DC^2 -\)
\(-2AD \cdot DC \cdot \cos \angle DAB\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник DD1B1B. Согласно теореме Пифагора: \(D1B^2 + B1D^2 = 2DB^2 + 2B1B^2\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник AA1CC1. Согласно теореме Пифагора: \(A1C^2 + C1A^2 = 2AC^2 + 2A1A^2\).
Сложив все равенства, получим: \(2DB^2 + 2B1B^2 + 2AC^2 + 2A1A^2 = 2(DB^2 + AC^2) + 2A1A^2 + 2A1A^2 = \)
\(=4DA^2 + 4A1A^2 + 4AB^2\).
Таким образом, сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер, что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.